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第23部分

亚里士多德的三段论-第23部分

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    我用起首的字母a,b,c,d,…,表示亚里士多德逻辑的词项变项(termvariCables)。

    这些词项变项以普遍词项作为它的值,如“人”或“动物”。

    我用大写字母A,E,I,O表示亚里士多德逻辑的常项(中世纪的逻辑学家已经在这个意义上使用这些符号)。

    借助于这两类字母,我构成亚里士多德逻辑的四个函项,书写时把常项置于变项之前:

…… 124

    211第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    Aab表示 所有a是b或b属于所有a,Eab表示 没有a是b或b属于无一a,Iab表示 有些a是b或b属于有些a,Oab表示 有些a不是b或b不属于有些a。

    常项A,E,I,O都叫函子,a和b叫做它们的变元(arguments)。

    所有亚里士多德的三段论都是由彼此相联系的这四种函项借助于“如果”和“并且”等词而组成。

    “如果”

    、“并且”

    等词也表示函子,但它是与亚里士多德逻辑常项不同的另一类:它们的变元不是词项表达词(term-expresion)

    ,即具体词项或词项变项,而是命题表达式(propositional

    exCpresion)

    ,即是像“所有人都是动物”那样的命题,像“Aab”那样的命题函项或命题变项。

    我用p,q,r,s,…,表示命题变项,用C表示函子“如果”

    ,用K表示函子“并且”。

    表达式Cpq即是“如果p,则q”的意思(“则”可以省去)

    ,并且叫做以p为前件,q为后件的“蕴涵式”。

    C并不属于前件,它仅仅把前后件联系起来。

    表达式Kpq即是“p并且q”

    的意思,并称为“合取式”。

    在有些证明中我们还会遇到命题逻辑的第三个函子,即命题的否定。

    它是一个变元的函子,用N表示。

    要把函项Np翻译为英语或任何其它现代语言都是困难的,因为没有与命题否定相当的单个的字眼①。

    我们只得用一种绕弯子的方式说“p不是真的”

    (it-is-not-true-that

    p)或“不是p那种情况”

    (it-is-not-the-case-that

    p)。

    为了简便起见,我采用表达式“非p”

    (not-p)。

    ①D斯多亚派用一个词‘ι(即“非”

    ,“不”。

    ——译者注)

    表示命题的否定。

    J F L

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    2。符号系统的说明A                                                                     31

    我的表示法的原则是将函子写在变元之前,用这种办法,我能够不用括弧。

    我发明的、并从1929年起在我的逻辑论文中使用的这一套不用括弧的符号①,可用于数学,同样也可用于逻辑。

    加法的结合律在原来的表示法中是这样写的:(a+b)+c=a+(b+c)

    ,而且不能不用括弧来陈述。

    然而如果你把函子+写在它的变元之前,你得到:

    (a+b)+c=++abc以及a+(b+c)=+a+bc。

    结合律现在就可以不用括号而写出了:++abc=+a+bc。

    现在,我要解释一下有些用这种符号表示法写出的表达式。

    一个三段论的符号表达式是易于了解的。

    以Barbara式为例:如果所有b是c并且所有a是b,则所有a是c。

    用符号写成:CKAbc

    Aab

    Aac前提Abc和Aab的合取式,即KAbc

    Aab,是公式的前件,结论Aac是它的后件。

    有些演绎理论的表达式是很复杂的。

    如假言三段论如果(如果p,则q)

    ,那么[如果(如果q,则r)则(如果p,则r)

    ]的符号表达式写成:

    ①例如,见卢卡西维茨与塔斯基:“关于命题演算的研究”

    ,《华沙科学与文学学会会刊》,xi卷(1930年)

    ,第Ⅲ类,第31—32页。

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    411第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    Cpq

    Cqr

    Cpr。

    为了了解这个公式的结构,你们必须记住:C是直接在C之后的两个命题变元的函子。

    这两个命题变元与C一起构成一个新的复杂命题表达式。

    公式中的表达式Cpq,Cqr与Cpr即属于这一类。

    在它们每一个的周围画上括弧,就得到表达式:C(Cpq)C(Cqr)

    (Cpr)。

    现在你们能够容易地看到C(Cpq)是整个公式的前件,而其余的,即C(Cqr)(Cpr)是后件。

    这个后件本身又是以(Cqr)为前件和C(pr)为后件的。

    以同样的方式我们可以分析所有其它表达式,如除了C之外还包含N和K的下面的例子:CKpqrCKNrqNp。

    记住K与C一样也是两个变元的函子,而N是一个变元的函子。

    使用不同种类的括弧我们得到表达式:C[C(Kpq)

    r]{C[K(Nr)q](Np)

    }。

    [C(Kpq)

    r]在这里是整个公式的前件,而{C[K(Nr)

    q](Np)

    }是后件,这个后件又有合取式[K(Nr)q]为自己的前件以及否定式(Np)为自己的后件。

    23。演绎理论A所有其它逻辑系统都建立于其上的那个最基本的逻辑系统乃是演绎理论。

    因此每一个逻辑学家都应当知道这个系统,我在这里将对它作一简单描述。

    根据什么函子被选择作为原始词项,演绎理论可以用几种不同方式加以公理化。

    最简单的一种是按照弗莱格的方式。

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    23。演绎理论A                                                               51

    他采用蕴涵与否定这两个函子作为原始词项,这在我们的符号系统中就是C和N。

    这个C-N系统有很多组公理;其中最简单和几乎普遍赞许的一组,是我自己在1929年以前所发明的①。

    它包含三条公理:T1。

    CpqCqrCprT2。

    CNpT3。

    CpCNpq。

    第一条公理是已经在前面一节中解释过的假言三段论定律。

    第二条公理,在文字上读作:“如果(如果非p,则p)

    ,那么p“

    ,欧几里德曾用于一条数学定理的证明②。

    我把它叫做克拉维乌斯定律,因为克拉维乌斯(一位博学的耶稣会士,生活于十六世纪后半期,西方新历——格列高里历法的创造人之一)

    在注释欧几里德时首先注意到这个定律。

    第三条公理在文字上就是“如果p,那么如果非p,则q”

    ,就我所知,它第一次出现在据说是邓斯司各脱的关于亚里士多德的注释中;我W称之为邓斯司各脱定律③。

    这条定律遏制着通常加之于矛盾W的诽谤:如果两个矛盾的语句,如α与Nα,同真,我们能够用这个定律从它们引出任意的命题q,亦即无论任何命题。

    属于这个系统的有两条推论规则:代入规则和分离规则。

    代入规则允许我们从这系统里已断定的命题中,用一个

    ①第一次发表于用波兰文写的“论数理逻辑的重要性与必要性”

    《波兰科学》(Nauka

    polska)卷Ⅹ,华沙(1929年)第610—612页。

    又参见本书第98页注②所引用德文写的论文:命题6,第35页。

    ②见前,第67页。

    ③参看第64页注所引用的我的论文。

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    611第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统

    同样的有意义的表达式替换其中每一个相同的变项,从而导出一个新的断定命题。

    有意义的表达式用以下方式归纳地定义为:(a)任何命题变项是一个有意义的表达式;(b)如果α是一个有意义的表达式的话,Nα也是一个有意义的表达式;(c)

    如果α和β都是有意义的表达式,则Cαβ也是有意义的表达式。

    分离规则就是前面谈到过的斯多亚派的“肯定前件的假言推理”

    :如果Cαβ这种类型的命题被断定为真,并且它的前件α也被断定为真,那么就可以允许断定它的后件β,而把它从蕴涵式中分离出来作为一个新的断定命题。

    用这两条规则我们能从我们这组公理推导出所有CN系统的真断定命题。

    在这个系统中,如果我们要有除C和N之外的其它的函子,如像K,我们必须用定义来引进它们。

    这可以用两种不同方式来作到,如我将在K的例子中表明的那样。

    合取式“p并且q”的意思犹如“(如果p,则非q)这不是真的”一样。

    Kpq与NCpNq之间的这个联系可以表达于这个公式中:Kpq=NCpNq,其中记号=相当于文字“意思犹如……一样”。

    这种定义需要一个特殊的推论规则,它允许我们用被定义项替换定义项,并且反之亦然。

    或者我们可以用等值来表示Kpq与NCpNq之间的这个联系,但因为等值不是我们系统的原始词项,所以用两个彼此可以替换的蕴涵式来表示这个联系:

    CKpqNCpNq与CNCpNqKpq。

    在这个情况下就不需要特殊的定义规则。

    我将使用第一种定

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    23。演绎理论A                                                               71

    义。

    现在让我们用一个例子来表明借助于推论规则如何能从公理引出新的断定命题。

    我将从公理T1-T3推导出同一律Cp。

    这一推导要求两次使用代入规则以及两次使用分离规则;它是这样进行的:

    T1。

    qCNpq×CT3-T4'

    T4。

    CNpqrCpr

    T4。

    qp,rp×CT2-T5'           '

    T5Cp。

    第一行叫做“导出行”

    (derivational

    line)。

    它包含以×号相互隔开的两个部分。

    第一部分,T1。

    qCNpq,意思是在T1中'CNpq应当代替q。

    由此代替所产生的断定命题为了节省篇幅而省略了。

    它将是以下形式:(1)CCpCNpqCNpqrCpr第二部分,CT3-T4,表明了这个省略了的断定命题是怎样构造的,使得分离规则可以应用于它这一点成为显然。

    断定

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